Question

9．如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）连接AC、BF，若BC=2AE，求证：四边形ABFC为矩形；
（3）在（2）条件下，当△ABC再满足一个什么条件时，四边形ABFC为正方形．（不需证明）

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质，可以利用AAS或ASA判断．
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．
（3）结论：当△ABC为等腰三角形时，即AB=AC时，四边形ABFC为正方形；根据邻边相等的矩形是正方形即可证明．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE=∠ECF，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ECF}\\{BE=CE}\\{∠AEB=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE（ASA）；

（2）∵△ABE≌△FCE，
∴BE=EC，AE=EF，
∴四边形ABFC为平行四边形，
∵AE=$\frac{1}{2}$BC，
∴AF=BC，
∴四边形ABFC为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；

（3）当△ABC为等腰三角形时，即AB=AC时，四边形ABFC为正方形；
理由如下：
由（2）可知四边形ABFC是矩形，
∵AB=AC，
∴四边形ABFC为正方形（邻边相等的矩形是正方形）．
故答案为：AB=AC．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、正方形的判定，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定和性质，属于中考常考题型．