Question

如图，在直角坐标系中，点P₀的坐标为（

2

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，

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），将线段OP₀绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的2倍，得到线段OP₁；又将线段OP₁绕点O按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂；如此下去，得到线段OP₃，OP₄，…，OP_n（n为正整数），则点P₂₀₁₄的坐标是

 

．

Answer 1

考点：规律型：点的坐标

专题：

分析：根据题意得出OP₀=1，OP₁=2，OP₂=4，如此下去，得到线段OP₃=8=2³，OP₄=16=2⁴…，OP_n=2ⁿ，再利用旋转角度得出点P₂₀₁₄的坐标与点P₆的坐标在同一直线上，进而得出答案．

解答：解：∵点P₀的坐标为（

2

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，

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），将线段OP₀绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的2倍，得到线段OP₁；
∴OP₀=1，OP₁=2，
∴OP₂=4，如此下去，得到线段OP₃=8=2³，OP₄=16=2⁴…，
∴OP_n=2ⁿ，
由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，
∵2014÷8=251…6，
∴点P₂₀₁₄的坐标与点P₆的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，
∴点P₂₀₁₄的坐标是（0，-2²⁰¹⁴）．
故答案为：（0，-2²⁰¹⁴）．

点评：此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P₂₀₁₄的坐标与点P₆的坐标在同一直线上是解题关键．