Question

如图，点P是反比例函数y=

k

x

(k＜0)图象上的点，PA垂直x轴于点A（-1，0），点C的坐标为（1，0），PC交y轴于点B，连结AB，AB=

5

．若M（a，b）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA＜∠ABC，则a的取值范围是（　　）

• A、0＜a＜2
• B、

  -11- 13

  2

  ＜a＜

  -11+ 13

  2

• C、0＜a＜2或a＜

  -11+ 13

  2

• D、0＜a＜2或

  -11- 33

  2

  ＜a＜

  -11+ 33

  2

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：首先设P（-1，t）．根据题意知，A（-1，0），B（0，2），C（1，0），由此易求直线BC的解析式y=-2x+2．把点P的坐标代入直线BC的解析式可以求得点P的坐标，由反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k的值；利用分类讨论思想可得：如图①，延长线段BC交抛物线于点M，由图②，当x＜a时，∠MBA＜∠ABC；作C关于直线AB的对称点C′，连接BC′并延长BC′交双曲线于点M′，当x＜a时，∠MBA＜∠ABC．

解答：解：如图，作C关于直线AB的对称点C′，连接BC′并延长交双曲线于点M′．
PA垂直x轴于点A（-1，0），
∴OA=1，可设P（-1，t）．
又∵AB=

5

，
∴OB=

AB2-OA2

=2，
∴B（0，2）．
又∵点C的坐标为（1，0），
∴直线BC的解析式是：y=-2x+2．
∵点P在直线BC上，
∴t=2+2=4
∴点P的坐标是（-1，4），
∴k=-4，
∴反比例函数的解析式为：y=-

4

x

，
①如图1，延长线段BC交双曲线于点M．
由（1）知，直线BC的解析式是y=-2x+2，反比例函数的解析式是y=-

4

x

．
则

y=-2x+2 y=- 4 x

，
解得：

x=2  y=-2

或

x=-1  y=4

（不合题意，舍去）．
根据图示知，当0＜a＜2时，∠MBA＜∠ABC；
②∵A（-1，0），B（0，2），
∴直线AB的解析式为：y=2x+2．
直线CC′是与直线AB垂直的，
∵设CC′解析式为：y=-

1

2

x+b，
∵C（1，0），
∴b=

1

2

，
∴CC′解析式为：y=-

1

2

x+

1

2

，
∵AC=AC′=2，
∴设C′点横坐标为：x，则纵坐标为：-

1

2

x+

1

2

，
∴（-x-AO）²+（-

1

2

x+

1

2

）²=（AC′）²，
解得：x₁=-

11

5

，x₂=1（不合题意舍去），
∴C′（-

11

5

，

8

5

），则易求直线BC′的解析式为：y=

2

11

x+2，
∴

y= 2 11 x+2 y=- 4 x

，
解得：x₁=

-11- 33

2

，x₂=

-11+ 33

2

，
则根据图示知，当

-11- 33

2

＜a＜

-11+ 33

2

时，∠MBA＜∠ABC．
综合①②知，当0＜a＜2或

-11- 33

2

＜a＜

-11+ 33

2

时，∠MBA＜∠ABC．
故选D．

点评：本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及分式方程组的解法．解题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，解题的过程中，利用了“数形结合”的数学思想．