Question

16．如图，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：
（1）AE=CF；
（2）四边形AECF是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，根据平行线的性质得出∠ADE=∠CBF，求出∠AED=∠CFB=90°，根据AAS推出△ADE≌△CBF即可；
（2）证出AE∥CF，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△ADE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CBF}&{\;}\\{∠AED=∠CFB}&{\;}\\{AD=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF．

（2）∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
由（1）得AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用；熟练掌握平行四边形的性质，解此题的关键是证明△ADE≌△CBF．