Question

如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设D（m，n），矩形ABCD的周长为l，写出l与m的关系式，并求出l的最大值；
（3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否还存在点F，使得以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出F点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据抛物线的对称性求出顶点P的坐标为（2，4），再求出点M的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+4，把点M的坐标代入计算即可得解；
（2）把点D的横坐标抛物线解析式表示出n，然后根据矩形的周长公式列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）根据平行四边形的对边相等，分①OM是平行四边形的边时，先求出点F的横坐标，然后代入抛物线解析式计算即可得解；②OM是平行四边形的对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分可得点F与顶点P重合．

解答：解：（1）∵抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4，
∴顶点P的横坐标为4÷2=2，M的坐标为（4，0），
∵顶点P到x轴的距离是4，
∴顶点P的纵坐标为4，
∴顶点P的坐标为（2，4），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+4，
则a（4-2）²+4=0，
解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-2）²+4，
即y=-x²+4x；

（2）∵D（m，n）在抛物线上，
∴n=-m²+4m，BC=4-2m，
∴矩形ABCD的周长为l=2（4-2m+n），
=2（4-2m-m²+4m），
=-2（m²-2m+1）+10，
=-2（m-1）²+10，
即l=-2（m-1）²+10，
∴当m=1时，周长l有最大值10；

（3）①OM是平行四边形的边时，点F的横坐标为2-4=-2，
纵坐标为：-（-2）²+4×（-2）=-4-8=-12，
此时，点F（-2，-12），
或点F的横坐标为2+4=6，
纵坐标为：-6²+4×6=-36+24=12，
此时，点F（6，-12），
②OM是平行四边形的对角线时，EF所在的直线经过OM的中点，
∴EF都在抛物线的对称轴上，
∴点F与点P重合，
此时，点F（2，4），
综上所述，点F（-2，-12）或（6，-12）或（2，4）时，以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称性，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值问题，平行四边形的性质，难点在于（3）根据平行四边形的性质分情况讨论．