Question

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为E．求证：BE=DE．
（2）如图2，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC=FE．求证：FC是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）作CF⊥BE，垂足为F，易得四边形EFCD为矩形，则DE=CF，根据等角的余角相等得到∠BAE=∠CBF，然后根据“AAS”判断△BAE≌△CBF，则BE=CF，于是BE=DE；
（2）连接OC，由FC=FE得∠FCE=∠FEC，而∠AED=∠FEC，则∠FCE=∠AED，加上∠OCA=∠A，由∠ADE=90°得到∠A+∠AED=90°，所以∠FCE+∠OCE=90°，则OC⊥FC，根据切线的判定即可得到FC是⊙O的切线．

解答：（1）证明：作CF⊥BE，垂足为F，如图1，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∴∠FED=∠D=∠CFE=90°，
∠CBE+∠ABE=90°，
∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∵四边形EFCD为矩形，
∴DE=CF．
在△BAE和△CBF中，

∠BAE=∠CBF ∠AEB=∠BFC AB=BC

，
∴△BAE≌△CBF（AAS），
∴BE=CF，
∴BE=DE；

（2）证明：连接OC，如图2，
∵FC=FE，
∴∠FCE=∠FEC，
又∵∠AED=∠FEC，
∴∠FCE=∠AED．
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠A，
∵DF⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴∠A+∠AED=90°，
∴∠FCE+∠OCE=90°，
∴∠FCO=90°，
即OC⊥FC，
又∵点C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了三角形全等的判定与性质．