Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0）．
（1）BD平分∠ABO的外角，∠ADO=45°，求∠BAD的大小；
（2）在图1中，求

AE

OB

的值；
（3）如图2，点P在OB上，AP⊥PF，∠OBF=135°，问

AP

PF

是否变化？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）由条件可知A、B、O、D四点共圆，再结合角平分线的性质可求得∠BAD；
（2）由条件可证明∠AOD=∠AEO，所以可得AE=OB，可求得比值为1；
（3）由条件可证明Rt△AEP∽Rt△FEB，进一步可证明△AEF∽△PEB，得到△APF为等腰三角形，则可得比值不变．

解答：解：（1）∵OA=OB，∠O=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠ABO=∠ADO=45°，
∴A、O、B、D四点共圆，
∴∠ODB=∠OAB=45°，
∴∠ADB=90°，
∵BD平分∠ABX，∴∠ABD=

1

2

（180°-45°）=67.5°，
∴∠BAD=90°-∠ABD=22.5°；
（2）∵∠DAO=45°+22.5°=67.5°，∠ADO=45°，
∴∠AOD=67.5°，
又由△AOE内角和为180°得，∠AEO=180°-∠OAB-∠DOA=67.5°，
∴AE=OA=OB，
∴

AE

OB

=1；
（3）连接AB，交PF于点E，连接AF，
∵OA=OB，
∴∠ABO=45°，
∴∠ABF=135°-45°=90°，
∵∠AEP=∠FEB，
∴Rt△AEP∽Rt△FEB，
∴

AE

PE

=

EF

BE

，
∵∠AEF=∠PEB，
∴△AEF∽△PEB，
∴∠AFE=∠PBE=45°，
∴△APF为等腰三角形，
∴

AP

PF

=1，
即

AP

PF

不变．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握复杂图形中寻找三角形相似的条件是解题的关键．