Question

19．如图，已知直线y=x+k和双曲线y=$\frac{k+1}{x}$（k为正整数）交于A、B两点，当k=2时；
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）联立两个函数解析式组成方程组，解方程组求得两函数的交点A、B的坐标；
（2）先根据直线解析式求得直线与y轴的交点C坐标，得到OC的长，再根据△AOB的面积等于△AOC的面积与△BOC的面积的和，进行计算即可．

解答 解：（1）当k=2时，直线解析式为y=x+2，双曲线解析式为$y=\frac{3}{x}$
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3}\\{{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$
即A（1，3），B（-3，-1）
（2）设直线与y轴交点为C，
在y=x+2中，当x=0时，y=2
∴C（0，2），即OC=2
∴△AOB的面积
=△AOC的面积+△BOC的面积
=$\frac{1}{2}$×CO×|x_B|+$\frac{1}{2}$×CO×|x_A|
=$\frac{1}{2}$×2×3+$\frac{1}{2}$×2×1
=3+1
=4

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解决问题的关键是掌握通过解方程组求两个函数图象交点坐标．当有两个函数的时候，着重使用函数图象的交点坐标以及直线与坐标轴的交点坐标，体现了数形结合思想，综合性较强．在计算△AOB的面积时，也可以将x轴作为分割线，或者将两坐标轴同时作为分割线．