已知:在Rt△OAB中.∠OAB=90°.若以D为坐标原点.OA所在直线为x轴.建立如图的平面直角坐标系.点B在第一象限内.将Rt△OAB沿OB折叠后.点A落在第一象限内的点C处.点C(3.4)．(1)求经过点O.C.A三点的抛物线解析式．(2)若点M是抛物线上一点.且位于线段OC的上方.求点M到OC的最大距离．(3)抛物线上是否存在一点P.使∠OAP=∠BOA?若存在.请求出此� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

已知：在Rt△OAB中，∠OAB=90°，若以D为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，点C（3，4）．
（1）求经过点O，C，A三点的抛物线解析式．
（2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，求点M到OC的最大距离．
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠OAP=∠BOA？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）过点C作CD⊥x轴于点D，利用勾股定理可得CO=5，然后根据折叠的性质可知AO=5，再利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）首先确定OC的解析式，进而确定平行于OC的直线解析式，然后联立解析式，得出关于m的方程，利用判别式为0求出m的值，再利用∠OCD的正弦求解，可得结论；
（3）分当P在x轴上方，当P在x轴下方两种情况讨论可得点P的坐标．

解答解：（1）如图所示：过点C作CD⊥x轴于点D，
∵C（3，4），
∴DO=3，DC=4，
∴CO=5，
∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，
∴AO=5，
设抛物线解析式为：y=ax²+bx+c，
则$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{9a+3b+c=4}\\{25a+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{10}{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
故抛物线解析式为：y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{10}{3}$x；

（2）∵C（3，4），
∴直线OC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x，
设点M到OC的最大距离时，平行于OC的直线解析式为y=$\frac{4}{3}$x+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+m}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}x}\end{array}\right.$，
消掉未知数y并整理得2x²-6x+3m=0，
△=（-6）²-24m=0，
解得：m=$\frac{3}{2}$．
设点M到OC的最大距离为x，
∵∠NOM=∠OCD，
∴sin∠OCD=sin∠NOM=$\frac{3}{5}$，
则$\frac{x}{\frac{3}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
解得x=$\frac{9}{10}$；

（3）AC的中点坐标为（4，2），
则直线OB解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{17}{4}}\\{{y}_{2}=\frac{17}{8}}\end{array}\right.$，
当P在x轴上方，点P的坐标为（$\frac{3}{4}$，$\frac{17}{8}$）；
当P在x轴上方，
B的坐标为（5，$\frac{5}{2}$），
AP的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=5}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{3}{4}}\\{{y}_{2}=-\frac{23}{8}}\end{array}\right.$，
点P的坐标为（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{23}{8}$）．
综上所述，存在一点P（$\frac{3}{4}$，$\frac{17}{8}$）或（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{23}{8}$），使∠OAP=∠BOA．