Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，M、N分别是BD、AC的中点．
求证：MN=

1

2

（BC-AD）．

Answer 1

分析：此题中连接AM并延长，交BC于点G，根据全等三角形的判定和性质易证明MN是构造的三角形的中位线，根据三角形的中位线定理就可证明．

解答：证明：如图所示，连接AM并延长，交BC于点G．
∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠GBM，∠MAD=∠MGB，
又∵M为BD中点，
∴△AMD≌△GMB．
∴BG=AD，AM=MG．
在△AGC中，MN为中位线，
∴MN=

1

2

GC=

1

2

（BC-BG）=

1

2

（BC-AD），
即MN=

1

2

（BC-AD）．

点评：此题关键是巧妙构造辅助线，借助全等三角形的性质可以发现三角形的中位线，运用三角形的中位线定理就可证明．