Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是边CB延长线上一点，连AD，作EA⊥AD，且使AD=AE，连BE与AC延长线交于点F．求证：BF=EF．

Answer 1

分析 作EM⊥AF于M，证△ADC≌△EAM，求出BC=AC=EM，证△BCF≌△EMF，推出结论即可．

解答 证明：作EM⊥AF于M，
∵∠ACB=90°，
∴∠M=∠ACD，
∵AD⊥AE，
∴∠DAE=90°，
∴∠EAM+∠AEM=90°，∠EAM+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠AEM，
在△ADC和△EAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠AEM}\\{∠ACD=∠M}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△EAM（AAS），
∴AC=EM，
∵AC=BC，
∴BC=EM，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=∠M，
在△BCF和△EMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCF=∠M}\\{∠BFC=∠EFM}\\{BC=EM}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△EMF（AAS），
∴BF=FE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．