题目内容
7．如图①，∠M0N=60°，OQ平分∠MON，点A、B在OQ上，OB=AB，AC⊥ON于点C，P是OM上一动点．
（1）在图②中，若AP∥ON，试说明PB⊥OA．
（2）点P在OM上运动时，若AP与ON不平行，还有使△OPA为等腰三角形的情况吗？如果有，求出此时∠PAO的度数．
（3）在图①中随着点P的运动，PB+PA是否存在最小值？如果不存在，直接下结论；如果存在，画出图形，简要写出画法．
分析 （1）根据角平分线的定义得到∠MOQ=∠NOQ，由平行线的性质得到∠NOQ=∠PAO，等量代换得到∠PAO=∠MOQ=∠POA，遇得到△PAO是等腰三角形，推出PB是等腰三角形底边AO上的中垂线，于是得到结论；
（2）根据∠NOQ=∠PAO=$\frac{1}{2}$∠MON=$\frac{1}{2}$×60°=30°，当∠PAO=∠OPA=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°时，得到△PAO是等腰三角形，当∠POA=∠OPA=30°时，根据等腰三角形的性质得到∠PAO=180°-30°-30°=120°，于是得到结论；
（3）存在点P使得PB+PA有最小值，根据两点之间线段最短作出图形即可．
解答 
证明：（1）∵OQ是∠MON的平分线，
∴∠MOQ=∠NOQ，
∵AP∥ON，
∴∠NOQ=∠PAO，
∴∠PAO=∠MOQ=∠POA，
∴△PAO是等腰三角形，
∵BO=AB，
∴PB是等腰三角形底边AO上的中垂线，
∴PB⊥OA；
（2）∵∠NOQ=∠PAO=$\frac{1}{2}$∠MON=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
当∠PAO=∠OPA=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°时，
∴△PAO是等腰三角形，
当∠POA=∠OPA=30°时，
∵△PAO是等腰三角形，
∴∠PAO=180°-30°-30°=120°，
∴存在点P，使得PA不平行NO，并且使得△PAO是等腰三角形，
即；∠PAO=75°或120°；
（3）存在点P使得PB+PA有最小值，
画法：作点A关于OM的对称点A′，
连接A'B交OM于点P，
则点P即为所求点，使得PB+PA有最小值是A'B．
点评 本题考查了角平分线的性质，轴对称-最短距离问题，等腰三角形的判定，线段的垂直平分线，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
如图，∠AOB=90°，∠AOD=160°，OC平分∠BOD，求∠COD及∠AOC的度数．
如图：等腰直角三角形ABC在平面直角坐标系中，点C坐标为（-6，8），AC=BC，∠ACB=90°，点A，B在x轴上，BC交y轴于点D，连接AD．
如图，在直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a，b，c满足关系式，|a+b-5|+$\sqrt{2a-b-1}$=0，（c-4）2≤0．
茗茗家有一块长10m，宽8m的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园的面积为整个矩形面积的$\frac{3}{5}$，茗茗设计的一种方案如图所示，请你帮茗茗求出图中x的值．
如图，抛物线y=-2x2+8x-6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y=x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是-3＜m＜-$\frac{15}{8}$．