题目内容

如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．
（1）抛物线y=
1
2
x2对应的碟宽为
 
；抛物线y=4x2对应的碟宽为
 
；抛物线y=ax2（a＞0）对应的碟宽为
 
；抛物线y=a（x-2）2+3（a＞0）对应的碟宽为
 
；
（2）抛物线y=ax2-4ax-
5
3
（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；
（3）将抛物线y=anx2+bnx+cn（an＞0）的对应准蝶形记为Fn（n=1，2，3…），定义F1，F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若Fn与Fn-1的相似比为
1
2
，且Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1．
①求抛物线y2的表达式；
②若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn，则hn=
 
，Fn的碟宽右端点横坐标为
 
；F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）根据定义易算出含具体值的抛物线y=
1
2
x2，抛物线y=4x2的碟宽，且都利用端点（第一象限）横纵坐标的相等．推广至含字母的抛物线y=ax2（a＞0），类似．而抛物线y=a（x-2）2+3（a＞0）为顶点式，可看成y=ax2平移得到，则发现碟宽只和a有关．
（2）根据（1）的结论，根据碟宽易得a的值．
（3）①由y1，易推y2．②结合画图，易知h1，h2，h3，…，hn-1，hn都在直线x=2上，但证明需要有一般推广，可以考虑hn∥hn-1，且都过Fn-1的碟宽中点，进而可得．另画图时易知碟宽有规律递减，所以推理也可得右端点的特点．对于“F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？”，如果写出所有端点规律似乎很难，找规律更难，所以可以考虑基础的几个图形关系，如果相邻3个点构成的两条线段不共线，则结论不成立，反则结论成立．求直线方程只需考虑特殊点即可．
解答：解：（1）4；
1
2
；
2
a
；
2
a
．
分析如下：
∵a＞0，
∴y=ax2的图象大致如下：

其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．
∵△OAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，
∴OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=
1
2
∠AOB=
1
2
•90°=45°，
∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形，
∴AC=OC=BC，
∴xA=yA，xB=yB，代入y=ax2，
∴A（-
1
a
，
1
a
），B（
1
a
，
1
a
），C（0，
1
a
），
∴AB=
2
a
，OC=
1
a
，
即y=ax2的碟宽为
2
a
．
①抛物线y=
1
2
x2对应的a=
1
2
，得碟宽
2
a
为4；
②抛物线y=4x2对应的a=4，得碟宽为
2
a
为
1
2
；
③抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为
2
a
；
④抛物线y=a（x-2）2+3（a＞0）可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，
∵平移不改变形状、大小、方向，
∴抛物线y=a（x-2）2+3（a＞0）的准碟形≌抛物线y=ax2的准碟，
∵抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为
2
a
，
∴抛物线y=a（x-2）2+3（a＞0），碟宽为
2
a
．

（2）∵y=ax2-4ax-
5
3
=a（x-2）2-（4a+
5
3
），
∴同（1），其碟宽为
2
a
，
∵y=ax2-4ax-
5
3
的碟宽为6，
∴
2
a
=6，
解得 a=
1
3
，
∴y=
1
3
（x-2）2-3．

（3）①∵F1的碟宽：F2的碟宽=2：1，
∴
2
a1
=
4
a2
，
∵a1=
1
3
，
∴a2=
2
3
．
∵y=
1
3
（x-2）2-3的碟宽AB在x轴上（A在B左边），
∴A（-1，0），B（5，0），
∴F2的碟顶坐标为（2，0），
∴y2=
2
3
（x-2）2．
②∵Fn的准碟形为等腰直角三角形，
∴Fn的碟宽为2hn，
∵2hn：2hn-1=1：2，
∴hn=
1
2
hn-1=（
1
2
）2hn-2=（
1
2
）3hn-3=…=（
1
2
）n+1h1，
∵h1=3，
∴hn=
3
2n-1
．
∵hn∥hn-1，且都过Fn-1的碟宽中点，
∴h1，h2，h3，…，hn-1，hn都在一条直线上，
∵h1在直线x=2上，
∴h1，h2，h3，…，hn-1，hn都在直线x=2上，
∴Fn的碟宽右端点横坐标为2+
3
2n-1
．
另，F1，F2，…，Fn的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=-x+5．
分析如下：
考虑Fn-2，Fn-1，Fn情形，关系如图2，

Fn-2，Fn-1，Fn的碟宽分别为AB，DE，GH；C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上，连接右端点，BE，EH．
∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴，
∴AB∥DE∥GH，
∴GH平行相等于FE，DE平行相等于CB，
∴四边形GFEH，四边形DCBE都为平行四边形，
∴HE∥GF，EB∥DC，
∵∠GFI=
1
2
•∠GFH=
1
2
•∠DCE=∠DCF，
∴GF∥DC，
∴HE∥EB，
∵HE，EB都过E点，
∴HE，EB在一条直线上，
∴Fn-2，Fn-1，Fn的碟宽的右端点是在一条直线，
∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在一条直线．
∵F1：y1=
1
3
（x-2）2-3准碟形右端点坐标为（5，0），
  F2：y2=
2
3
（x-2）2准碟形右端点坐标为（2+
3
2
，
3
2
），
∴待定系数可得过两点的直线为y=-x+5，
∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在直线y=-x+5上．
点评：本题考查学生对新知识的学习、理解与应用能力．题目中主要涉及特殊直角三角形，二次函数解析式与图象性质，多点共线证明等知识，综合难度较高，学生清晰理解有一定困难．
练习册系列答案
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8
÷
2
+(2-
2014
)0-(-1)2014+|
2
-2|+(-
1
2
)-1．
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1
x2-1
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x
x+1
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+
2-m
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x
3
-
x
2
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万元；
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万元，4月商品销售总额占上半年商品销售总额的
 
%；
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不等式组
x-1≥0
4-2x＜0
的解集是
 
．
△ABC中，AB=4，BC=3，∠BAC=30°，则△ABC的面积为
 
．

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