Question

已知抛物线的图象经过点A（3，0）、点B（-1，0）、点C（0，-3），点M是抛物线上的顶点，点P是线段AM上一动点（不与点A、M重合），PN垂直x轴于点N．
（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）求直线AM的解析式；
（3）若设点P的横坐标为x，四边形BCPN的面积为S，写出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）当x为何值时，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式，进而利用配方法求出其顶点坐标即可；
（2）利用（1）中所求，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（3）分别表示出S_△BOC=

1

2

×1×3=

3

2

，S_{四边形OCPN}=

1

2

（6-2x+3）×x=-x²+

9

2

x，进而得出S与x的函数关系，利用M，A点坐标得出x的取值范围；
（4）利用配方法求出二次函数最值即可．

解答：解：（1）设抛物线解析式为：y=ax²+bx+c，将点A（3，0）、点B（-1，0）、点C（0，-3）代入得出：

9a+3b+c=0 a-b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

．
故抛物线解析式为：y=x²-2x-3；
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
则M点坐标为：（1，-4）．

（2）设直线AM的解析式为：y=kx+d，
将A，M点代入得出：

3k+d=0 k+d=-4

，
解得：

k=2 b=-6

．
故直线AM的解析式为：y=2x-6；

（3）设点P的横坐标为x，四边形BCPN的面积为S，
∵PN垂直x轴于点N，
∴NO=x，PN=-y=6-2x，
∴S_△BOC=

1

2

×1×3=

3

2

，
S_{四边形OCPN}=

1

2

（6-2x+3）×x=-x²+

9

2

x
故S与x之间的函数关系式为：S=S_△BOC+S_{四边形OCPN}=-x²+

9

2

x+

3

2

，
自变量x的取值范围是：1＜x＜3；

（4）由（2）得：S=-x²+

9

2

x+

3

2

=-（x²-

9

2

x）+

3

2

=-（x-

9

4

）²+

105

16

，
故当x=

9

4

时，S有最大值，最大值是

105

16

．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式以及求一次函数解析式和四边形面积求法和二次函数最值求法，注意表示出PN的长是解题关键．