题目内容
如图，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）和B（4，0）、与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）T是抛物线对称轴上的一点，且△ACT是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；
（3）点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行．当点M到达原点时，点Q立刻掉头并以每秒
| 3 |
| 2 |
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）利用已知得出C点坐标，再利用勾股定理以及等腰三角形的性质求出即可；
（3）当0＜t≤2时，AM=BQ=t，得出△APM∽△ACO则
=
，得出S=
AQ×PM=-t2+6t；
当2＜t≤3时，AM=t，由S=
AQ×PM求出即可．
（2）利用已知得出C点坐标，再利用勾股定理以及等腰三角形的性质求出即可；
（3）当0＜t≤2时，AM=BQ=t，得出△APM∽△ACO则
| AM |
| AO |
| MP |
| CO |
| 1 |
| 2 |
当2＜t≤3时，AM=t，由S=
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）∵抛物线过点A（-2，0）和B（4，0），
∴
，
解得：
，．
∴抛物线的解析式为：y=-
x2+x+4；
（2）如图1，抛物线的对称轴为：x=1，
令x=0，得y=4，∴C（0，4），
设T点的坐标为（1，h），对称轴交x轴于点D，过C作CE⊥TD于点E
在Rt△ATD中，
∵TD=h，AD=3
∴AT2=AD2+TD2=9+h2，
在Rt△CET中，
∵E（1，4），
∴ET=4-h，CE=1，
∴CT2=TE2+CE2=（4-h）2+1，
∵AT=CT
∴（4-h）2+1=9+h2，
解得：h=1．
故T（1，1）；
（3）如图1，当0＜t≤2时，AM=BQ=t，
∴AQ=6-t，
∵PM⊥AQ，
∴△APM∽△ACO
∴
=
，
∴PM=2t，
∴S=
AQ×PM=-t2+6t，
如图2，当2＜t≤3时，AM=t
∴BM=6-t．由OC=OB=4，可得BM=PM=6-t．
∵BQ=2-
（t-2）=5-
t，
∴AQ=6-（5-
t）=1+
t，
∴S=
AQ×PM=
（1+
t）（6-t）=-
t2+4t+3，
综上所述，S=
．
∴
|
解得：
|
∴抛物线的解析式为：y=-
| 1 |
| 2 |
（2）如图1，抛物线的对称轴为：x=1，
令x=0，得y=4，∴C（0，4），
设T点的坐标为（1，h），对称轴交x轴于点D，过C作CE⊥TD于点E
在Rt△ATD中，
∵TD=h，AD=3
∴AT2=AD2+TD2=9+h2，
在Rt△CET中，
∵E（1，4），
∴ET=4-h，CE=1，
∴CT2=TE2+CE2=（4-h）2+1，
∵AT=CT
∴（4-h）2+1=9+h2，
解得：h=1．
故T（1，1）；
（3）如图1，当0＜t≤2时，AM=BQ=t，
∴AQ=6-t，
∵PM⊥AQ，
∴△APM∽△ACO
∴
| AM |
| AO |
| MP |
| CO |
∴PM=2t，
∴S=
| 1 |
| 2 |
如图2，当2＜t≤3时，AM=t
∴BM=6-t．由OC=OB=4，可得BM=PM=6-t．
∵BQ=2-
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| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴AQ=6-（5-
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴S=
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| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
综上所述，S=
|
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及等腰三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质等知识，利用分段函数求出S与x的关系是解题关键．
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