Question

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{1}{2}$（x+1）²-2与x轴交于A、B两点，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点C在y轴的正半轴上，点D是劣弧$\widehat{AC}$上一个动点，当BD把∠ABC分成1：3两部分时，BD的长为$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接MD、AD，作DN⊥AB于N，解方程求出点A、点B的坐标，根据相交弦定理求出OC，根据正切的定义求出∠OBC的度数，根据三角形的外角的性质求出∠AMD的度数，根据勾股定理计算即可．

解答 解：连接MD、AD，作DN⊥AB于N，
$\frac{1}{2}$（x+1）²-2=0，
整理得，x²+2x-3=0，
解得，x₁=-3，x₂=1，
则点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0），
由相交弦定理得，OC²=OA•OB=3，
则OC=$\sqrt{3}$，又OB=1，
tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠OBC=60°，
∵BD把∠ABC分成1：3两部分，
∴∠ABD=15°，
∴∠AMD=30°，
∴DN=$\frac{1}{2}$DM=1，
由勾股定理得，MN=$\sqrt{D{M}^{2}-D{N}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则AN=2-$\sqrt{3}$，
∴AD²=AN²+DN²=8-4$\sqrt{3}$，
BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点的求法、锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，正确解出一元二次方程、掌握坐标与图形的特征是解题的关键．