题目内容
如图，将菱形ABCD放在直角坐标系中，使得点B与原点重合，对角线BD在x轴上，点A恰好在反比例函数y=| k |
| x |
（1）求函数y=
| k |
| x |
（2）若点P以4cm/s的速度从点A出发沿线路AB-BD做匀速运动，同时点Q以5cm/s的速度从点D出发沿路线DC-CB-BA做匀速运动，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，试确定△AMN是哪一类三角形，并说明理由；
（3）设（2）中的点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改变为acm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与（2）中的△AMN相似，试求a的值．
考点：反比例函数综合题
专题：
分析：（1）如图，过点A作AE⊥OD于E．根据菱形的性质知∠OAE=30°，所以通过解直角△OAE可以求得OE、AE的长度；然后由点A所在的象限确定其坐标，则k=xy；
（2）求出P Q走的距离，再根据等腰三角形性质即可推出答案；
（3）分为三种情况：根据相似，得到比例式，求出Q走的距离，即可求出答案．
（2）求出P Q走的距离，再根据等腰三角形性质即可推出答案；
（3）分为三种情况：根据相似，得到比例式，求出Q走的距离，即可求出答案．
解答：
解：（1）如图1，过点A作AE⊥OD于E．
∵四边形AOCD是菱形，∠OAD=60°，
∴OA=24，∠OAE=30°，
∴OE=
OA=12，AE=OA•cos30°=12
，
∴A（12，12
）．
又∵点A恰好在反比例函数y=
图象上，
∴k=12×12
=144
，
则反比例函数的表达式为：y=
；
（2）12秒时，P走了4×12=48，
∵AO+OD=24+24=48，
∴P到D点，
同理Q到AO的中点上，
∵AD=OD，
∴MN⊥AO，
∴△AMN是直角三角形．
（3）有三种情况：如图（3）
∠ANM=∠EFB=90°，∠A=∠DBF=60°，DE=3×4=12=
AD，
根据相似三角形性质得：BF=
AN=6，
∴NB+BF=12+6=18，
∴a=18÷3=6，
同理：如图2，求出a=2；
如图4，a=12．
∴a的值是2或6或12．
解：（1）如图1，过点A作AE⊥OD于E．∵四边形AOCD是菱形，∠OAD=60°，
∴OA=24，∠OAE=30°，
∴OE=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴A（12，12
| 3 |
又∵点A恰好在反比例函数y=
| k |
| x |
∴k=12×12
| 3 |
| 3 |
则反比例函数的表达式为：y=
144
| ||
| x |
（2）12秒时，P走了4×12=48，
∵AO+OD=24+24=48，
∴P到D点，
同理Q到AO的中点上，
∵AD=OD，
∴MN⊥AO，
∴△AMN是直角三角形．
（3）有三种情况：如图（3）
∠ANM=∠EFB=90°，∠A=∠DBF=60°，DE=3×4=12=
| 1 |
| 2 |
根据相似三角形性质得：BF=
| 1 |
| 2 |
∴NB+BF=12+6=18，
∴a=18÷3=6，同理：如图2，求出a=2；
如图4，a=12．
∴a的值是2或6或12．
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，菱形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
练习册系列答案
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