Question

5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若AB=10，sin∠P=$\frac{3}{5}$，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）先根据圆周角定理得出∠P=∠C，再根据∠1=∠C可知∠1=∠P，由此可得出结论；
（2）连接AC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，得到∠BPD=∠CAB，于是得到$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，根据已知条件即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，
∴∠D=∠BCD，
∴CB∥PD；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BPD=∠CAB，
∴sin∠CAB=sin∠BPD=$\frac{3}{5}$，
即$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∵AB=10，
∴BC=6，即BC的长是6．

点评 本题考查的是圆周角定理，三角函数的定义，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．