Question

【题目】如图，矩形的两条边的长是方程的两根沿直线将矩形折叠，点落在第一象限的点处，交轴于点．

（1）求点和点的坐标；

（2）将直线以每秒个单位长度的速度沿轴向下平移，求直线扫过的三角形的面积关于运动的时间的函数关系式；

（3）在(2)的条件下，在移动的直线上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点的坐标;若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）由一元二次方程可先求得OA、OC的长，则可求得A、B的坐标；设，根据折叠的性质以及矩形的性质得AE=CE，在中根据勾股定理可求出a的值，从而可解决问题；

（2）由FG//AC可得，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得出S与t之间的函数关系式；

（3）分两种情况求解：①过点D作DN//y轴，交x轴于点N，交移动后的直线AC于点M，

连接OM，假定EOMD是平行四边形，求出OM的长，通过解直角三角形OMN，求出ON和MN的长度即可；②方法同①.

解方程

得

设，则

由折叠可得

在中，

解得，

设直线平移秒时，交于点，

则

存在

分两种情况：①如图，过点D作DN//y轴，交x轴于点N，交移动后的直线AC于点M，

连接OM，

∵OE=3，OA=4，

∴tan∠OAE=，

设DN=3x，则AN=4x，

由折叠的性质可得AD=AB=8，

在Rt△AND中，由勾股定理可得，

解得，

∴，，

∴

假设四边形EOMD是平行四边形，则有OM//ED，

∴∠MON=∠DAN

∴，

∴

∴M点的坐标为(，) ；

②如图，过点O作OM//AD，交移动后的直线AC于点M，连接OD，ME，过M作MN⊥x轴，垂足为点N，

由（1）得AE=5，AD=8，

∴DE=3，

假设四边形EMOD是平行四边形，则有OM=ED=3，

同①可得

设MN=3x，则ON=4x，

在Rt△OMN中，由勾股定理可得，

解得，

∴，，

∴M点的坐标为(，) .

综上，M点的坐标为(，)或(，).