Question

8．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E 点，∠ADC+∠B=180°．
（1）求证：BC=CD；
（2）2AE=AB+AD．

Answer 1

分析 （1）过C作CF⊥AD于F，根据角平分线的性质得：CF=CE，根据AAS证明△FDC≌△EBC可得结论；
（2）由（1）中的全等得：DF=BE，证明Rt△AFC≌Rt△AEC，得AE=AF，根据线段的和与差得出结论．

解答 证明：（1）过C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，
∴CF=CE，
∵∠ADC+∠CBE=180°，∠ADC+∠FDC=180°，
∴∠CBE=∠FDC，
在△FDC和△EBC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠CEB=90°}\\{∠FDC=∠CBE}\\{FC=CE}\end{array}\right.$，
∴△FDC≌△EBC（AAS），
∴CD=BC；
（2）∵△FDC≌△EBC，
∴DF=BE，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF=AE，
∴AB+AD=AE+BE+AD=AE+DF+AD=AE+AF=2AE．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的性质，注意利用角平分线性质时，必须是到角两边的垂线段相等，本题是常考题型，难度不大，在证明线段的和与差时，要将线段根据图形中分成和与差，利用全等三角形的对应边相等作等量代换，从而得出结论．