Question

6．如图，已知斜坡AB长60m，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE（结果精确到0.1m，参考数据：$\sqrt{3}$≈1.732）．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为11.0m．
（2）一座建筑物GH距离坡角A点27m远（即AG=27m），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？

Answer 1

分析 （1）根据题意得出，∠BEF最大为45°，当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，进而得出EF的长，即可得出答案；
（2）利用在Rt△DPA中，DP=$\frac{1}{2}$AD，以及PA=AD•cos30°进而得出DM的长，利用HM=DM•tan30°得出即可．

解答 解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，
∴∠BEF最大为45°，
当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，
∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，
∴BF=EF=$\frac{1}{2}$BD=15，
DF=15$\sqrt{3}$，
∴DE=DF-EF=15（$\sqrt{3}$-1）=11.0（米）；
故答案为：11.0．

（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P，

在Rt△DPA中，DP=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×30=15，
PA=AD•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×30=15$\sqrt{3}$．
在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=15$\sqrt{3}$+27，
在Rt△DMH中，
HM=DM•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（15$\sqrt{3}$+27）=15+9$\sqrt{3}$．
GH=HM+MG=15+15+9$\sqrt{3}$≈45.6．
答：建筑物GH高约为45.6米．

点评 此题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出是解题关键．