Question

如图，四边形ABCD中，∠ADB=∠DCB=90°，BD平分∠ABC，点E为AB中点．
（1）求证：BD²=BC•BA；
（2）若BD=2

6

，AB=6，
①请直接写出BC的长；
②求

EF

EC

的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明△CBD∽△BDA即可得到

BC

BD

=

BD

BA

，可得到结论；
（2）①利用（1）的结论，代入可求得BC；②利用角平分线的性质可得

EF

FC

=

BE

BC

，且FC=EC-CF，代入可求得其比值．

解答：（1）证明：
∵BD平分∠ABC，C
∴∠CBD=∠DBA，且∠ADB=∠DCB=90°，
∴△CBD∽△BDA，
∴

BC

BD

=

BD

BA

，
∴BD²=BC•BA；
（2）解：
①由（1）可得BD²=BC•BA，且BD=2

6

，AB=6，
∴（2

6

）²=6BC，解得BC=4；
②∵BD平分∠ABC，
∴

EF

FC

=

BE

BC

，
∵E为AB中点，
∴BE=

1

2

AB=3，
∴

EF

FC

=

3

4

，且FC=EC-EF，
∴

EF

EC-EF

=

3

4

=

3

7-3

，
∴

EF

EC

=

3

7

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．积化比例是解决这类问题的一般思路，在（2）中注意角平分线性质定理的应用．