Question

已知关于x的一元二次方程（a-1）x²+（2-3a）x+3=0的一个根为1．
（1）求a的值；
（2）若m、n（m＜n）是此方程的两根，直线l：y=mx+n交x轴于点A，交y轴于点B，坐标原点O关于直线l的对称点O′在反比例函数y=

k

x

的图象上，求反比例函数y=

k

x

的解析式．
（3）将直线l绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），得到直线l′，l′交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与（2）中的反比例函数y=

k

x

的图象交于点Q，当APQO′的面积为9-

3 3

2

时，求角θ的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据方程解的定义把x=1代入（a-1）x²+（2-3a）x+3=0得到关于a的一次方程，然后解方程可得到a=2；
（2）先解方程x²-4x+3=0得到m=1，n=3，再确定直线l：y=x+3与坐标的交点A的坐标为（-3，0），交点B的坐标为（0，3），然后根据对称的性质易得
四边形AOBO′为正方形，所以O′点的坐标为（-3，3），再把O′点的坐标代入y=

k

x

求出k即可得到反比例函数解析式；
（3）设P点坐标为（0，t），延长AO′交直线PQ于E点，则表示出E点坐标为（-3，t），Q点坐标为（-

9

t

，t），再利用S_{四边形APQO′}=S_△APE-S_△O′QE得到

1

2

•3•t-

1

2

•（t-3）•（-

9

t

+3）=9-

3 3

2

，解出t=3

3

，然后利用锐角三角函数求出∠PAO=60°，而∠BAO=45°，所以∠PAB=15°，即∠θ=15°．

解答：解：（1）把x=1代入（a-1）x²+（2-3a）x+3=0得a-1+2-3a+3=0，
解得a=2；
（2）把a=2代入方程得到x²-4x+3=0，解得m=1，n=3，
∵直线l的解析式为y=x+3，则A点坐标为（-3，0），B点坐标为（0，3），
∴OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∵原点O与点O′关于AB对称，
∴四边形AOBO′为正方形，
∴O′点的坐标为（-3，3），
把O′（-3，3）代入y=

k

x

得k=-3×3=-9，
∴反比例函数解析式为y=-

9

x

；
（3）如图，设P点坐标为（0，t），延长AO′交直线PQ于E点，
则E点坐标为（-3，t），Q点坐标为（-

9

t

，t），
∵S_{四边形APQO′}=S_△APE-S_△O′QE，
∴

1

2

•3•t-

1

2

•（t-3）•（-

9

t

+3）=9-

3 3

2

，
∴t=3

3

，
∴OP=3

3

，
∴tan∠PAO=

PO

OA

=

3 3

3

=

3

，
∴∠PAO=60°，
而∠BAO=45°，
∴∠PAB=60°-45°=15°，
即角θ的值为15°．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的判定与性质；熟练运用三角形面积公式和锐角三角函数进行计算．