题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=x2+k图象与x轴没有交点，且图象与直线y=-x+k都经过点P，|OP|=
，试求实数k的值．
| 10 |
考点：抛物线与x轴的交点
专题：
分析：先根据二次函数的根的判别式求出k的取值范围，再根据条件求出抛物线与直线的交点坐标，根据两点间的距离公式建立方程求出其解即可．
解答：解：∵二次函数与x轴没有交点，
∴y=0时，x2+k=0，
∴△=-4k＜0，
∴k＞0，
∵一次函数与抛物线有交点，
∴-x+k=x2+k，
x2+x=0，
x（x+1）=0，
∴x1=0，x2=-1．
当x=0时，y=k，
当x=-1时，y=k+1．
∴P1 （0，k），P2（-1，k+1）
∴由两点间的距离公式，得
OP1=
=
，
∴k=
，
OP2=
=
，
∴k1=2，k2=-4．
∵k＞0，
∴k=
或2．
答：k=2或k=
．
∴y=0时，x2+k=0，
∴△=-4k＜0，
∴k＞0，
∵一次函数与抛物线有交点，
∴-x+k=x2+k，
x2+x=0，
x（x+1）=0，
∴x1=0，x2=-1．
当x=0时，y=k，
当x=-1时，y=k+1．
∴P1 （0，k），P2（-1，k+1）
∴由两点间的距离公式，得
OP1=
| k2 |
| 10 |
∴k=
| 10 |
OP2=
| 1+(k+1)2 |
| 10 |
∴k1=2，k2=-4．
∵k＞0，
∴k=
| 10 |
答：k=2或k=
| 10 |
点评：本题考查了二次函数与x轴的交点坐标的运用，两点间的距离公式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时由二次函数的解析式与直线的解析式求出交点坐标是关键．
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