Question

6．如图，⊙O的直径AC与弦BD交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）已知点B是EF的中点，已知⊙O的半径为3，CF：AF=1：2．求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接CD，由圆周角定理得出∠ADC=90°，∠BAC=∠EDC，得出∠ADB+∠EDC=90°，证出∠EAC=90°，即可得出结论；
（2）连接BC，由圆周角定理得出∠ABC=90°，∠CBA=∠ABC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出AB=$\frac{1}{2}$EF=BF，得出∠BAC=∠AFE，证明△EAF∽△CBA，得出$\frac{AF}{AB}=\frac{EF}{AC}$，求出AB，再根据勾股定理求出AE即可．

解答 （1）证明：如图1所示：连接CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADB+∠EDC=90°，
∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，即EA⊥OA，
∴EA是⊙O的切线；
（2）解：如图2所示：连接BC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBA=∠ABC=90°
∵∠EAF=90°，B是EF的中点，
∴AB=$\frac{1}{2}$EF=BF，
∴∠BAC=∠AFE，
∴△EAF∽△CBA，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{EF}{AC}$，
∵⊙O的半径为3，CF：AF=1：2，
∴AC=6，AF=4，CF=2，
∴$\frac{4}{AB}=\frac{2AB}{6}$，
解得：AB=2$\sqrt{3}$，
∴EF=4$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{E{F}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、圆周角定理；本题有一定难度，特别是（2）中，需要证明三角形相似和勾股定理才能得出结果．