Question

6．如图，四边形ABDE和ACFG都是正方形，过A作直线l，交BC，GE于M、N．
（1）若AM平分BC，求证：AN⊥GE；
（2）若AN⊥GE，求证：AM平分BC．

Answer 1

分析 （1）作KG∥AC交AM的延长线于K，连接CK，先证明△ACM≌△KBM，再证明∠EAG≌△BAK得∠AGE=∠AKB=∠CAK，根据∠GAN+∠CAK=90°即可解决问题．
（2）作KG∥AC交AM的延长线于K，连接CK，先证明△EAG≌△BAK，证明四边形ACKB是平行四边形即可．

解答 （1）证明：作KG∥AC交AM的延长线于K，连接CK．
∵AC∥BK，
∴∠ACM=∠MBG，
在△ACM和△KBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACM=∠MBK}\\{∠AMC=∠BMK}\\{CM=BM}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△KBM，
∴AC=BK，
∴四边形ACKB是平行四边形，
∴∠CAB+∠ABK=180°，AC=BK，
∵∠EAG+∠CAB=180°，
∴∠EAG=∠ABK，
∵四边形ACFG、ABDE是正方形，
∴AC=AG，AB=AE，∠CAG=90°，
在△AEG和△BAK中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=BK}\\{∠EAG=∠ABK}\\{AE=AB}\end{array}\right.$
∴∠EAG≌△BAK，
∴∠AGE=∠AKB，
∵∠AKB=∠CAK，
∠CAK+∠GAN=90°，
∴∠AGN+∠GAN=90°，
∴∠ANG=90°即AN⊥EG．
（2）作KG∥AC交AM的延长线于K，连接CK．
∵AN⊥EG，
∴∠ANG=90°，∠AGE+∠GAN=90°，
∵∠GAN+∠CAK=90°，
∴∠AGN=∠CAK，
∵∠CAK=∠AKB，
∴∠AGE=∠AKB，
在△EAG和△BAK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGE=∠AKB}\\{∠EAG=∠ABK}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△EAG≌△BAK，
∴AG=BK=AC，
∴四边形ACKB是平行四边形，
∴CM=BM．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会添加辅助线构造全等三角形以及特殊四边形，属于中考常考题型．