Question

2．已知?ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF=$\sqrt{3}$，EO=1，AE=3，DF=5，S_?ABCD=20$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接OP，由HL证得Rt△OPE≌Rt△OPF，得出OE=OF=1，求出OA、OD的长，计算出S_△APO、S_△OPD，从而得出S_△AOD，即可得出结果．

解答 解：连接OP，如图所示：
∵PE⊥AC、PF⊥BD，
∴在Rt△OPE和Rt△OPF中，$\left\{\begin{array}{l}{PE=PF}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴Rt△OPE≌Rt△OPF（HL），
∴OE=OF=1，
∴OA=AE+OE=3+1=4，OD=DF+OF=5+1=6，
S_△APO=$\frac{1}{2}$PE•OA=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×4=2$\sqrt{3}$，
S_△OPD=$\frac{1}{2}$PF•OD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×6=3$\sqrt{3}$，
∴S_△AOD=S_△APO+S_△OPD=2$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$=5$\sqrt{3}$，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S_?ABCD=4×S_△AOD=4×5$\sqrt{3}$=20$\sqrt{3}$，
故答案为20$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了全等直角三角形的判定与性质、三角形面积的计算、平行四边形的性质等知识，熟练掌握全等直角三角形的判定与性质与平行四边形的性质是解决问题的关键．