Question

7．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．
（1）求证：DC=DE；
（2）若tan∠CAB=$\frac{1}{2}$，AB=4，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出∠DCE=∠E，进而得出答案；
（2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，利用勾股定理得出BD的长．

解答 （1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠ACO+∠DCE=90°，
又∵ED⊥AD，
∴∠EDA=90°，
∴∠EAD+∠E=90°，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠EAD，
故∠DCE=∠E，
∴DC=DE；

（2）解：设BD=x，则AD=AB+BD=4+x，OD=OB+BD=2+x，
在Rt△EAD中，
∵tan∠CAB=$\frac{1}{2}$，
∴ED=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$（4+x），
由（1）知，DC=$\frac{1}{2}$（4+x），在Rt△OCD中，
OC²+CD²=DO²，
则2²+[$\frac{1}{2}$（4+x）]²=（2+x）²，
解得x=$\frac{4}{3}$，
∴CD=$\frac{8}{3}$．

点评 此题主要考查了切线的性质以及以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，熟练应用切线的性质得出∠OCD=90°是解题关键．