Question

2．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD=CD，BE平分∠ABC，FD⊥ED交AB于F，BE交AD于H，则下列结论：①AH=AE；②S_{四边形AFDE}=$\frac{1}{2}$S_△ABC；③BF²+CE²=EF²，其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③
• C． ①②
• D． ①③

Answer 1

分析 根据三角形的外角性质可以证明∠AHE=∠AEH，故①正确；由△BDF≌△ADE得到S_△BDF=S_△ADE，所以S_{四边形AFDE}=S_△ABD=${\frac{1}{2}}_{\;}$S_△ABC故②正确；只要证明BF=AE、CE=AF，即可证明③正确．

解答 解∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=DC，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠DAC=∠ABD=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
∵∠AHE=∠ABE+∠BAD，∠AEB=∠C+∠EBC
∵∠ABE=∠EBC，
∴∠AHE=∠AEH，
∴AH=AE，故①正确；
∵∠BDF+∠ADF=90°，∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠BDF=∠ADE，
在△BDF或△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBD=∠DAE}\\{BD=DA}\\{∠BDF=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ADE，
∴S_△BDF=S_△ADE，BF=AE，
∴S_{四边形AFDE}=S_△ABD=${\frac{1}{2}}_{\;}$S_△ABC，故②正确；
同理可证：△ADF≌△CDE，
∴EC=AF，
在RT△AEF中，∵AF²+AE²=EF²，
∴EC²+CF²=EF²故③正确．
故选A．

点评 本题考查三角形外角的性质．全等三角形的判定和性质、四边形的面积问题等知识，寻找全等三角形是解决问题的关键．