Question

17．如图，四边形ABCD是正方形，（1）在图1中，直角三角尺AMN的直角顶固定在A处，在旋转过程中一条直角边和CB的延长线交于一点P，另一条直角边CD交于Q点，请你通过测量PB和DQ的长度，猜想PB和DQ满足的数量关系和怎样的变换关系，并证明你的猜想；
（2）在图2中，直角三角尺AON的45°角固定在A处，在选装过程中一条直角边和CB交于点R，斜边AN和CD交于Q点．请你通过测量BR和RQ及DQ的长度，猜想QR与BR，DQ满足的数量关系，并利用上面的变换方法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，得到AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠D=90°，证得∠PAB=∠DAQ，推出△ABP≌△ADQ，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）延长CB到E，使BE=DQ，连接QR，通过Rt△ABE≌△RtADQ，得到AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，得到∠EAR=45°，推出△EAR≌△QAR，由全等三角形的性质得到ER=QR，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）PB=DQ，DQ通过绕着点A旋转90°到PB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABP=90°，∵∠MAN=90°，
∴∠PAB=∠DAQ，
在△ABP与△ADQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠DAQ}\\{AB=AD}\\{∠ABP=∠D}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADQ，
∴PB=DQ，
∴DQ通过绕着点A旋转90°到PB；

（2）QR=BR+DQ，
延长CB到E，使BE=DQ，连接QR，
在Rt△ABE与△RtADQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠D=90°}\\{BE=DQ}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌△RtADQ，
∴AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，
∵∠OAN=45°，
∴∠DAQ+∠BAR=45°，
∴∠EAR=45°，
在△EAR与△QAR中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AQ}\\{∠EAR=∠QAR}\\{AR=AR}\end{array}\right.$，
∴△EAR≌△QAR，
∴ER=QR，
∵ER=BE+BR=DQ+BR，
∴QR=BR+DQ．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．