Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，P为射线AB上一点，连接PD、AC，且PD、AC交于点E，过点A作AF⊥PD，垂足为点F．

(1)当点F落在BC边上时，求AP的值

(2)当△PAE为等腰三角形时，求AP的值．

Answer 1

【答案】（1）5或20（2）或或4

【解析】

（1）先判断出△ABF∽△FCD，进而求出BF=2或8，再判断出△ABF∽△FBP，得出比例式建立方程即可得出结论；
（2）分三种情况，利用等腰三角形的性质和勾股定理，即可得出结论．

（1）如图1，

∵∠AFD=90°，
∴∠AFB+∠CFD=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCF=∠ABC=90°，
∴∠AFB+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠CFD，
∵∠ABF=∠FCD=90°，
∴△ABF∽△FCD，

∴BF=2或BF=8，
∵AF⊥PD，∴∠PFB+∠AFB=90°，

∵∠FPB+∠PFB=90°，

∴∠AFB=∠FPB

∵∠ABF=∠FBP=90°

∴△ABF∽△FBP，

或

∴AP=5或AP=20；
（2）∵△PAE为等腰三角形，
∴①当PA=PE时，
∴∠PAE=∠PEA，
∵AB∥CD，
∴∠PAE=∠DCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD=4，
∴DP=PE+DE=PA+4

在Rt△ADP中，根据勾股定理得，PD2=AD2+AP2，
∴（AP+4）2=100+PA2，

②当PA=AE时，

∴∠APE=∠AEP，
∵AB∥CD，
∴∠APE=∠CDE，
∵∠AEP=∠CED，

∴∠CDE=∠CED，

∴CE=CD=4，
∴AC=AP+4，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，（AP+4）2=16+100，

（舍去）或

③当PE=AE时，∴∠APE=∠PAE，
∵AB∥CD，
∴∠APE=∠CDE，∠PAE=∠DCE，

∴CE=DE，
∴PE+DE=AE+CE=AC，
∴点P和点B重合，
即：AP=AB=4，
∴AP=4，

综上所述，当△PAE为等腰三角形时，AP的值为或或4