Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=1，O为AC的中点，OE⊥OD交AB于点E．若AE=

3

4

，则DO的长为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：求出△DAO≌△EBO，推出OD=OE，AD=BE，求出AD=BE=

1

4

，由勾股定理得出DE²=DO²+OE²=AD²+AE²，求出即可．

解答：解：∵∠ABC=90°，O为AC的中点，
∴∠CAB=∠ACB=45°，∠ABO=45°，AO=BO=CO，∠AOB=90°，
∵OE⊥OD，
∴∠DOE=∠AOB=90°，
∴∠DOA=∠BOE=90°-∠AOE，
∵AD∥BC，
∴∠DAB=180°-∠ABC=90°，
∴∠DAO=90°-45°=45°，
∴∠DAO=∠OBE，
在△DAO和△EBO中

∠DAO=∠EBO AO=OB ∠DOA=∠BOE

∴△DAO≌△EBO（ASA），
∴OD=OE，AD=BE，
∵AB=1，AE=

3

4

，
∴AD=BE=1-

3

4

=

1

4

，
在Rt△DAE和Rt△DOE中，由勾股定理得：DE²=DO²+OE²=AD²+AE²，
∴2DO²=（

1

4

）²+（

3

4

）²，
DO=

5

4

，
故答案为：

5

4

．

点评：本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OD=OE，AD=BE，题目比较好，难度适中．