Question

4．已知一次函数的图象经过点P（1，-3），且与x轴交于点A，与y轴交于点B，过P点作PE垂直于x轴于E，且PE：AE=3：5．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求一次函数的图象与两坐标轴所围成的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）先利用PE⊥x轴得到E（1，0），PE=3，再利用PE：AE=3：5得到AE=5，所以A点坐标为（6，0）或（-4，0），然后分两种情况利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）对于（1）中的两个解析式，分别求出对应的B点坐标，然后根据三角形面积公式计算．

解答 解：（1）∵P（1，-3），PE⊥x轴，
∴E（1，0），PE=3，
∵PE：AE=3：5，
∴AE=5，
∴A点坐标为（6，0）或（-4，0），
设一次函数解析式为y=kx+b，
当A点坐标为（6，0）时，把A（6，0），P（1，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{5}}\\{b=-\frac{18}{5}}\end{array}\right.$，此时一次函数解析式为y=$\frac{3}{5}$x-$\frac{18}{5}$；
当A点坐标为（-4，0）时，把A（6，0），P（1，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{5}}\\{b=-\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，此时一次函数解析式为y=-$\frac{3}{5}$x-$\frac{12}{5}$；
∴一次函数解析式为y=$\frac{3}{5}$x-$\frac{18}{5}$或y=-$\frac{3}{5}$x-$\frac{12}{5}$；
（2）当y=0时，y=$\frac{3}{5}$x-$\frac{18}{5}$=-$\frac{18}{5}$，则B（0，-$\frac{18}{5}$），则一次函数的图象与两坐标轴所围成的图形的面积=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{18}{5}$=$\frac{54}{5}$；
当y=0时，y=-$\frac{3}{5}$x-$\frac{12}{5}$=-$\frac{12}{5}$，则B（0，-$\frac{12}{5}$），则一次函数的图象与两坐标轴所围成的图形的面积=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．