Question

14．2015年以来．安徽省高速公路建设稳步推进，相继有十条高速公路建成通车．实现了所有的县在半小时内通达高速．全省高速公路通车里程突破4200公里．如图是某高速单向过山隧道截面设计图．隧道横截面呈抛物线形，设计AB=6米，最高点P点距地面8米．
（1）若以AB所在直线为横轴．AB的中垂线为纵轴建立平面直角坐标系．试确定该抛物线的解析式；
（2）在距地面3米高处，隧道的宽度是多少？
（3）若设计要求隧道通过的截面矩形CDEF的宽CD不小于4米，高CE不小于4.2米．则该隧道设计是否符合要求？

Answer 1

分析 （1）根据题意设抛物线解析式为y=ax²+8，将点B（3，0）代入求得a的值即可得；
（2）令y=3时求得x的值，继而可得隧道的宽度；
（3）令x=2时，求出y的值与4.2比较大小可得．

解答 解：（1）如图，以AB所在直线为横轴．AB的中垂线为纵轴建立平面直角坐标系，

由题意，设抛物线解析式为y=ax²+8，
将点B（3，0）代入，得：9a+8=0，解得：a=-$\frac{8}{9}$，
∴该抛物线的解析式的解析式为：y=-$\frac{8}{9}$x²+8；

（2）当y=3时，-$\frac{8}{9}$x²+8=3，解得：x=±$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，
∴隧道的宽度是2×$\frac{3\sqrt{10}}{4}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$米；

（3）∵当x=2时，y=-$\frac{8}{9}$×2²+8=$\frac{40}{9}$＞4.2，
∴该隧道设计符合要求．

点评 本题主要考查了二次函数的应用，求抛物线解析式可以使用一般式、顶点式或者交点式，因条件而定．运用二次函数解题时，可以给自变量（或者函数）一个特殊值，求函数（自变量）的值，解答题目的问题．