Question

12．（1）如图（1），求证：∠AOB=∠A+∠B+∠C；
（2）如图（2），请利用（1）中的结论求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

Answer 1

分析 （1）连接AB，利用三角形的内角和定理得出∠ABC+∠BAC+∠C=180，∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA，进一步把∠OAB=∠BAC-∠A，∠OBA=∠ABC-∠B代换即可求得答案．
（2）根据三角形外角的性质，可得∠1与∠B、∠F的关系，∠2与∠A、∠E的关系，再根据多边形的内角和公式，可得答案．

解答 证明：（1）连接AB，如图（1）

∵∠ABC+∠BAC+∠C=180，∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA，∠OAB=∠BAC-∠CAO，∠OBA=∠ABC-∠CBO，
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA
=180°-（∠ABC-∠CAO）-（∠BAC-∠CBO）
=180°-∠ABC-∠BAC+∠CAO+∠CBO=∠CAO+∠CBO+∠C；
（2）如图（2），

由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠1=∠B+∠F，∠2=∠A+∠E，
由四边形内角和得∠1+∠2+∠D+∠E=（4-2）×180°=360°．
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

点评 此题考查三角形的内角和，角的和与差，掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键．