Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）

（1）求此二次函数的解析式以及顶点D的坐标；

（2）如图①，过此二次函数抛物线图象上一动点P（m，n）（0＜m＜3）作y轴平行线，交直线BC于点E，是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，说明理由．

（3）如图②，过点A作y轴的平行线交直线BC于点F，连接DA、DB、四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点F重合时立即停止运动，求运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积S的最大值．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化为顶点式即可求得顶点的坐标．

（2）先求得直线BC的解析式，设P（x，﹣x²+4x﹣3），则F（x，x﹣3），根据PF等于P点的纵坐标减去F点的纵坐标即可求得PF关于x的函数关系式，从而求得P的坐标和PF的最大值；

（3）线利用待定系数法求得直线AD的解析式为y=x﹣1，直线BC的解析式为：y=x﹣3，从而得到AD∥BC，且与x轴正半轴夹角均为45°，由平行于与y轴的直线上点的坐标特点可求得F（1，﹣2），从而可求得AF=2，由当点C与点F重合时立即停止运动，可知0≤t≤，由AF∥A′F′，AD∥C′B，可知四边形AFF′A′为平行四边形，根据由平行四边形的面积公式可知当t=时，重合部分的面积最大，设A′F′与x轴交于点K，依据特殊锐角三角函数值可求得AK=1．依据平行四边形的面积公式可求得重合部分的最大面积为2．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），将点C的坐标代入得：3a=﹣3，

解得：a=﹣1．

∵将a=﹣1代入得：y=﹣（x﹣1）（x﹣3）=﹣x²+4x﹣3．

∴抛物线的解析式为y=﹣x²+4x﹣3．

由抛物线的对称轴方程可知：x=﹣=2，

将x=2代入抛物线的解析式得：y=1．

∴点D的坐标为（2，1）．

（2）存在．

理由：设直线BE的解析式为y=kx+b．

将B（3，0），C（0，﹣3）代入上式，得：，

解得：k=1，b=﹣3．

则直线BC的解析式为y=x﹣3．

∵PE∥y轴，

∴点P与点E的横坐标均为m．

∵将x=m代入直线BC的解析式的y=m﹣3，

∴点E的坐标为（m﹣3）．

将x=m代入抛物线的解析式得y=﹣m²+4m﹣3，

∴点P的坐标为（m，﹣m²+4m﹣3）．

∴PE═﹣m²+4m﹣3﹣（m﹣3）=﹣m²+3m=﹣（m²﹣3m+﹣）=﹣（m﹣）2+．

∴当m=时，PE的长有最大值，最大值为．

（3）如图所示：

∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，﹣3），

∴可求得直线AD的解析式为：y=x﹣1；直线BC的解析式为：y=x﹣3．

∴AD∥BC，且与x轴正半轴夹角均为45°．

∵AF∥y轴，

∴F（1，﹣2），

∴AF=2．

∵当点C与点F重合时立即停止运动，

∴0≤t≤．

∵AF∥A′F′，AD∥C′B，

∴四边形AFF′A′为平行四边形．

∵当AA′有最大值时，重合部分的面积最大．

∴当t=时，重合部分的面积最大．

设A′F′与x轴交于点K，则AK=AA′==1．

∴S=S_{▱AFF′A′}=AF•AK=2×1=2．

四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积S的最大值为2．

【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、最值、平行四边形、等腰直角三角形、图形面积计算等知识点．列出线段PE的表达式是解决问题（2）的关键，证得四边形AFF′A′为平行四边形是解答问题（3）关键．