Question

如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．

（1）求证：AT是⊙O的切线；

（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．

　

Answer 1

【考点】切线的判定；解直角三角形．

【专题】证明题．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得∠TAB=90°，得出TA⊥AB，从而证得AT是⊙O的切线；

（2）作CD⊥AT于D，设OA=x，则AT=2x，根据勾股定理得出OT=x，TC=（﹣1）x，由CD⊥AT，TA⊥AB得出CD∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出==，即==，从而求得CD=（1﹣）x，AD=2x﹣2（1﹣）x=x，然后解正切函数即可求得．

【解答】解：（1）∵∠ABT=45°，AT=AB．

∴∠TAB=90°，

∴TA⊥AB，

∴AT是⊙O的切线；

（2）作CD⊥AT于D，

∵TA⊥AB，TA=AB=2OA，

设OA=x，则AT=2x，

∴OT=x，

∴TC=（﹣1）x，

∵CD⊥AT，TA⊥AB

∴CD∥AB，

∴==，即==，

∴CD=（1﹣）x，TD=2（1﹣）x，

∴AD=2x﹣2（1﹣）x=x，

∴tan∠TAC===．

【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，平行线的判定和性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．