Question

20．请同学们先认真研究第1小题的问题，寻找出解决这类问题的通法，并利用此方法解决第2小题．
（1）在下列图中我们给出了平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标，请同学们分别在横线上写出顶点C的坐标

①在图1中，A（0，0），B（4，0），D（1，2），则C点坐标为（5，2）；
②在图2中，A（0，0），B（e，0），D（c，d），则C点坐标为（e+c，d）；（用c，d，e表示）
③在图3中，A（a，b），B（c，d），D（e，f），则C点坐标为（c+e-a，d）；（用a，c，d，e表示）
④在图4中，A（a，b），B（c，d），D（e，f），则C点坐标为（e+c-a，f+d-b）；（用a，b，c，d，e，f表示）
（2）在直角坐标系平面内，函数$y=\frac{m}{x}$的图象过了A（1，4），B（3，k），点C在直线y=2x-5上运动，D点在y轴上运动，问当C点和D点的坐标为何值时，四边形ABCD为平行四边形．（A，B，C，D按顺序排列）

Answer 1

分析 （1）①如图1中，过点作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，由平行四边形的性质，即可求得答案；②同①可得；③同①可得；④分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A₁，B₁，C₁，D₁，分别过A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于点F．在平行四边形ABCD中，CD=BA，根据内角和定理，又∵BB₁∥CC₁，可推出∠EBA=∠FCD，△BEA≌△CFD．依题意得出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．设C（x，y）．由e-x=a-c，得x=e+c-a．由y-f=d-b，得y=f+d-b．继而推出点C的坐标；
（2）如图5中，作CE⊥x轴由E，AH⊥x轴于H，BF⊥AH于F．于A（1，4）y=$\frac{m}{x}$上，推出m=4，推出B（3，$\frac{4}{3}$），推出BF=2，AF=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，由（1）可知，△DCE≌△BAF，可知CE=AF=$\frac{8}{3}$，DE=BF=2，推出点C的纵坐标为-$\frac{8}{3}$，由此可以求出点C坐标，再求出OD的长即可解决问题．

解答 解：（1）①如图1中，过点作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，


∵CD∥AB，D（1，2）
∴DE=CF=2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，BE=CF，AB=DC=4，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），
∴AE=BF=1，OF=5，
∴C的坐标为（5，2）；
故答案为（5，2）．
②如图2中，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，

由Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），
∴AE=BF=c，CDE=d，OF=c+e，
∴C的坐标为（c+e，d）；
故答案为（c+e，d）．
③如图3中，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，

由Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴AE=BF=c-a，
∴C的坐标为（c+e-a，d）．
故答案为：（c+e-a，d）．
④如图4中，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A₁，B₁，C₁，D₁，
分别过A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于点F．

在平行四边形ABCD中，CD=BA，
又∵BB₁∥CC₁，
∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度．
∴∠EBA=∠FCD．
在△BEA和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DFC}\\{∠EBA=∠FCD}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△CFD（AAS）．
∴AE=DF=a-c，BE=CF=d-b．
设C（x，y）．
由e-x=a-c，得x=e+c-a．
由y-f=d-b，得y=f+d-b．
∴C（e+c-a，f+d-b）；
故答案为（e+c-a，f+d-b）；

（2）如图5中，作CE⊥x轴由E，AH⊥x轴于H，BF⊥AH于F．

∵A（1，4）y=$\frac{m}{x}$上，
∴m=4，B（3，$\frac{4}{3}$），
∴BF=2，AF=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，由（1）可知，△DCE≌△BAF，可知CE=AF=$\frac{8}{3}$，DE=BF=2，
∴点C的纵坐标为-$\frac{8}{3}$，
∴-$\frac{8}{3}$=2x-5，
∴x=$\frac{7}{6}$，
∴C（$\frac{7}{6}$，-$\frac{8}{3}$），OD=DE-OE=2-$\frac{7}{6}$=$\frac{5}{6}$，
∴D（-$\frac{5}{6}$，0），
∴当C点坐标为（$\frac{7}{6}$，-$\frac{8}{3}$）和D点的坐标为（-$\frac{5}{6}$，0）时，四边形ABCD为平行四边形．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质，平面直角坐标系内的坐标，平行线的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质、一次函数的性质等知识．理解平行四边形的特点结合平面直角坐标系是解决本题的关键．