Question

【题目】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：① 4ac<b2；② 方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝-1，x2＝3；③ 3a＋c>0；④当 y>0时，x的取值范围是-1<x<3；⑤ 当x<0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论序号有_____________________．

Answer 1

【答案】①②④⑤

【解析】

利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．

解：∵抛物线与x轴有2个交点，

∴b2-4ac＞0，

∴4ac＜b2，故①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），

∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，故②正确；

∵x==1，即b=-2a，

而x=-1时，y=0，即a-b+c=0，

∴a+2a+c=0，

即3a+c=0，故③错误；

∵抛物线与x轴的两点坐标为（-1，0），（3，0），

∴当y＞0时，x的取值范围是-1＜x＜3，故④正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴当x＜1时，y随x增大而增大，

∴当x＜0时，y随x增大而增大，故⑤正确；

所以其中结论正确有①②⑤，

故答案为：①②④⑤．