Question

如图，直线y=-

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x+1与x轴，y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90度．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）求三角形ABC的面积S_△ABC；
（2）求点C的坐标；
（3）证明不论a取任何实数，△BOP的面积是一个常数．

Answer 1

考点：一次函数综合题,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：综合题

分析：（1）由题可得点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长，根据勾股定理可求出AB，就可求出等腰直角△ABC的面积；
（2）过点C作CH⊥x轴于点H，如图1，易证△AOB≌△CHA，从而得到AH、CH，就可得到点C的坐标；
（3）过点P作PE⊥y轴于点E，如图2，由P（1，a）可得PE=1，从而得到△BOP的面积是一个常数．

解答：解：（1）∵直线y=-

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x+1与x轴，y轴分别交于点A、B，
∴点A的坐标为（

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，0），点B的坐标为（0，1），
∴OA=

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，OB=1，
∵∠AOB=90°，
∴AB=

OA2+OB2

=2．
∴AC=AB=2，
∵∠BAC=90°，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=2；

（2）过点C作CH⊥x轴于点H，如图1，

则∠AHC=90°．
∴∠AOB=∠BAC=∠AHC=90°，
∴∠OAB=180°-90°-∠HAC=90°-∠HAC=∠HCA．
在△AOB和△CHA中，

∠AOB=∠CHA ∠OAB=∠HCA AB=CA

，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴AO=CH=

3

，OB=HA=1，
∴OH=OA+AH=

3

+1，
∴点C的坐标为（

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+1，

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）；

（3）证明：过点P作PE⊥y轴于点E，如图2．

∵P（1，a），
∴PE=1，
∴S_△BOP=

1

2

OB•PE=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴不论a取任何实数，△BOP的面积都是一个常数．

点评：本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，构造全等三角形是解决第（2）小题的关键．