题目内容

3．如果方程x2+bx+c=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=-b，x1x2=c，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2-（a+1）x+$\frac{1}{4}$a2+1=0的两根之差的绝对值为$\sqrt{5}$，求a的值；
（2）已知关于x的方程x2+px+q=0（q≠0）有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．

分析 （1）由韦达定理可得x1+x2=a+1，x1x2=$\frac{1}{4}$a2+1，根据|x1-x2|=$\sqrt{5}$即（x1+x2）2-4x1•x2=5，代入解关于a的方程可得；
（2）根据韦达定理知x1+x2=-p，x1x2=q，设新方程两个分别为y1、y2，由y1=$\frac{1}{{x}_{1}}$、y2=$\frac{1}{{x}_{2}}$，可知y1+y2、y1y2，继而可得新方程．

解答 解：（1）设方程x2-（a+1）x+$\frac{1}{4}$a2+1=0的两根为x1、x2，
则x1+x2=a+1，x1x2=$\frac{1}{4}$a2+1，
∵|x1-x2|=$\sqrt{5}$，
∴（x1-x2）2=5，即（x1+x2）2-4x1•x2=5，
∴（a+1）2-4（$\frac{1}{4}$a2+1）=5，
解得：a=4；

（2）方程x2+px+q=0（q≠0）中x1+x2=-p，x1x2=q，
设新方程两个分别为y1、y2，
则y1=$\frac{1}{{x}_{1}}$、y2=$\frac{1}{{x}_{2}}$，
∴y1+y2=$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=-$\frac{p}{q}$，
y1y2=$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{q}$，
故新方程为y2+$\frac{p}{q}$y+$\frac{1}{q}$=0．

点评 本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=-$\frac{b}{a}$，x1•x2=$\frac{c}{a}$．

练习册系列答案
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