Question

如图，点M、N是边长为4的正△ABC边AB、AC上的动点，且满足：将△AMN沿MN折叠，使A点恰好落在BC边上的D点处．
（1）求证：△BDM∽△CND；
（2）若BD：CD=2：3，试求AM：AN的值；
（3）若DM⊥BC，试求CM的值；
（4）当D从B移动到C，点N运动的总路线长是多少？

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：探究型

分析：（1）由等边三角形的性质可知，∠A=∠B=∠C=60°，根据图形反折变换的性质可知，∠MDN=∠A=60°，故∠MDB+∠NDC=120°，在△BDM中由于∠MDB+∠BMD=120°，所以∠BMD=∠NDC，故可得出结论；
（2）由△ABC是边长为4的等边三角形，BD：CD=2：3，可知BD、CD的长，再由（1）中△BDM∽△CND，可知BM：2.4=1.6：CN=DM：DN，再把AM=MD，AN=ND，BM=4-AM，CN=4-AN代入即可得出结论；
（3）当DM⊥BC时，连接CM，设BM=x，则MD=AM=4-BM=4-x，在Rt△BDM中，由sinB=sin60°=

MD

BM

=

4-x

x

=

3

2

可求出x的值，进而得出MD及BD的长，根据勾股定理即可求出CM的长；
（4）当ND⊥BC时，N点到达离C点最远处，同（3）可知此时NC=8（2-

3

），当D点继续向C点移动时，N往AC中点移动，由此即可得出结论．

解答：（1）证明：∵∠MDN=∠A=60°，
∴∠MDB+∠NDC=120°，
又∵在△BDM中，∠MDB+∠BMD=120°，
∴∠BMD=∠NDC，
∴△BDM∽△CND；

（2）解：∵△ABC是边长为4的等边三角形，BD：CD=2：3，
∴BD=1.6，CD=2.4，
∵由（1）知，△BDM∽△CND，
∴BM：2.4=1.6：CN=DM：DN，
∵AM=MD，AN=ND，BM=4-AM，CN=4-AN，
∴（4-AM）：2.4=1.6：（4-AN）=AM：AN，
∴2.4AM=4AN-AN•AM①，1.6AN=4AM-AM•AN②，
①-②得，2.4AM-1.6AN=4AN-4AM，即6.4AM=5.6AN
∴AM：AN=（5.6）：（6.4）=7：8；

（3）解：如图所示，当DM⊥BC时，连接CM，设BM=x，则MD=AM=4-BM=4-x
∵在Rt△BDM中，sinB=sin60°=

MD

BM

=

4-x

x

=

3

2

，解得x=8（2-

3

），
∴MD=4-x=4-8（2-

3

）=8

3

-12，
∴BD=

1

2

BM=4（2-

3

），
∴CD=4-BD=4-4（2-

3

）=4

3

-4
∴CM=

MD2+CD2

=

(8 3 -12)2+(4 3 -4)2

=4

25-14 3

；

（4）解：∵当ND⊥BC时，N点到达离C点最远处，
∴同（3）可知此时NC=8（2-

3

）
∵当D点继续向C点移动时，N往AC中点移
∴N点的路程是：2×8（2-

3

）-

1

2

×4=30-16

3

．

点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到等边三角形的性质及翻折变换的性质、相似三角形的判定定理等相关知识，难度适中．