Question

12．如图，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，ED∥AC交AB于点D，EF，交等边三角形外角平分线CF所在的直线与点F，当点E是BC的中点时，求证：AE=EF．

Answer 1

分析 首先证明△BDE是等边三角形，证明AD=EC，证明△ADE≌△ECF，根据全等三角形的对应边相等即可证得．

解答 证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．
又∵DE∥AC，
∴∠BEF=∠BDE=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BE，∠BDE=60°，
∵BE=CE，
∴DE=CE，
∴∠ADE=120°．
∵CF是外角的平分线，
∠ECF=120°=∠ADE，
∵∠AEB=∠AEC=90°，
∴∠DAE=∠FEC=30°，
在△ADE与△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CEF}\\{AD=EC}\\{∠ADE=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．

点评 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，正确证明AD=EC是解题的关键．