Question

14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE=AD，连接DE交AB于点M．
（1）求证：△AMD≌△BME；
（2）若N是CD的中点，且MN=5，BE=2，求BC的长；
（3）请在（2）的基础上，直接写出AD，MN，BC之间的关系．

Answer 1

分析 （1）找出全等的条件：BE=AD，∠A=∠ABE，∠E=∠ADE，即可证明；
（2）首先证得MN是三角形的中位线，根据MN=$\frac{1}{2}$（BE+BC），又BE=2，即可求得．
（3）结论：MN=$\frac{1}{2}$（AD+BC）

解答 （1）证明：∵AD∥BC，
∴∠A=∠MBE，∠ADM=∠E，
在△AMD和△BME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠MBE}\\{AD=BE}\\{∠ADM=∠E}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△BME（ASA）；

（2）解：∵△AMD≌△BME，
∴MD=ME，ND=NC，
∴MN=$\frac{1}{2}$EC，
∴EC=2MN=2×5=10，
∴BC=EC-EB=10-2=8．
答：BC的长是8．

（3）结论：MN=$\frac{1}{2}$（AD+BC）．

点评 本题考查了全等三角形的判断及三角形中位线定理的应用，熟记其性质、定理是证明、解答的基础．