Question

如图，一次函数y=kx+

5

2

与反比例函数y=

m

x

的图象相交于A（a，2），B（-4，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：代数几何综合题,数形结合

分析：根据两个函数的交点坐标，联立两函数的解析式，所得方程组的解即为A、B点的坐标．由于△OAB的边不在坐标轴上，因此可用其他图形面积的和差来求出△AOB的面积．

解答：解：（1）根据题意，A点的坐标为（a，2），B点的坐标为（-4，n）
将A点的坐标（a，2）代入y=kx+

5

2

和y=

m

x

得：

ka+ 5 2 =2 m a =2

得到，mk=-1  ①
将B点的坐标（-4，n） 代入y=kx+

5

2

和y=

m

x

得：n=-4k+

5

2

n=

m

-4

整理得：m=16k-10 ②
将②代入 ①
得：k（16k-10）=-1
所以16k²-10k+1=0
（8k-1）（2k-1）=0
得k=

1

8

，k=

1

2

分别验证：将k=

1

8

代入①，
得m=-8所以a=-4，n=2
此时A、B坐标相同，不合题意
将k=

1

2

代入 ①，
得m=-2所以a=-1，n=

1

2

，
点A（-1，2），B（-4，

1

2

），
所以一次函数是：y=

x

2

+

5

2

反比例函数是：y=-

2

x

．
（2）分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，交于点F，分别交x，y轴于点D、E，如图，
S_矩形ODFE=4×2=8，
S_△ABF=

1

2

×

3

2

×3=

9

4

，
S_△OBD=

1

2

×

1

2

×4=1，
S_△AOE=

1

2

×1×2=1，
S_△AOB=S_矩形ODFE-S_△ABF-S_△OBD-S_△AOE=

15

4

，
所以△AOB的面积

15

4

．

点评：本题综合考查用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．本题难度较大，利用反比例函数和一次函数的知识求三角形的面积，因为△AOB的边都不在坐标轴上，所以直接利用三角形的面积计算公式来求这个三角形的面积比较烦琐，也比较难，因此需要将这个三角形转化为两个有一边在坐标上的三角形来求面积．本题也可以利用上面的方法来求△AOB的面积．