Question

【题目】直线l1，l2，l3，l4是同一平面内的一组平行线．

（1）如图1，正方形ABCD的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A，点C分别在直线l1和l4上，求正方形的面积．

（2）如图2，正方形ABCD的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1，h2，h3．

①求证：h1＝h3．

②设正方形ABCD的面积为S，求证：S＝2h12+2h1h2+h22．

Answer 1

【答案】（1）正方形ABCD的面积为9或5；（2）①证明见解析；②证明见解析

【解析】

（1）分两种情况：①如图1，得出正方形ABCD的边长为3，可求出正方形ABCD的面积；
②如图1-2，过点B作EF⊥l1于E，交l4于F，则EF⊥l4，证明△ABE≌△BCF（AAS），得出AE=BF=2由勾股定理求出AB，即可得出答案；
（2）①过点B作EF⊥l1于E，交l4于F，作DM⊥l4于M，证明△ABE≌△BCF（AAS），得出AE=BF，同理△CDM≌△BCF（AAS），得出△ABE≌△CDM（AAS），得出BE=DM即可；
②由①得出AE=BF=h2+h3=h2+h1，得出正方形ABCD的面积S=AB2=AE2+BE2=（h2+h1）2+h12=2h12+2h1h2+h22．

（1）解：分两种情况：

①如图1所示：正方形ABCD的边长为3，

∴正方形ABCD的面积为9；

②如图1﹣2所示：过点B作EF⊥l1于E，交l4于F，则EF⊥l4，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠ABE+∠CBF＝180°﹣90°＝90°，

∵∠CBF+∠BCF＝90°，

∴∠ABE＝∠BCF，

在△ABE和△BCF中，，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE＝BF＝2，

∴AB＝ ，

∴正方形ABCD的面积＝AB2＝5；

综上所述，正方形ABCD的面积为9或5；

（2）①证明：过点B作EF⊥l1于E，交l4于F，作DM⊥l4于M，如图2所示：

则EF⊥l4，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠ABE+∠CBF＝180°﹣90°＝90°，

∵∠CBF+∠BCF＝90°，

∴∠ABE＝∠BCF，

在△ABE和△BCF中，，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE＝BF，

同理△CDM≌△BCF（AAS），

∴△ABE≌△CDM（AAS），

∴BE＝DM，即h1＝h3．

②解：由①得：AE＝BF＝h2+h3＝h2+h1，

∵正方形ABCD的面积S＝AB2＝AE2+BE2＝（h2+h1）2+h12＝2h12+2h1h2+h22．