Question

【题目】如图，中，，，于点，点是线段的一个动点，则的最小值是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

作EG⊥AC于G，BH⊥AC于H，由tanA==3，设AD=a，CD=3a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明EG=EC，推出BE+EC=BE+EG，由垂线段最短即可解决问题．

解：如图，作EG⊥AC于G，BH⊥AC于H，

∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵tanA==3，设AD=a，CD=3a，

∵AB=AC=10，
则有：102=a2+9a2，
∴a2=10，
∴a=或（舍），

∴CD=3a=，

∵AB=AC，CD⊥AB，BH⊥AC，
∴BH=CD=，

∵∠ECG=∠ACD，∠CGE=∠CDA，
∴sin∠ECG===，

∴EG=EC，

∴BE+EC=BE+EG，

∴BE+EG≥BH，

∴BE+EC≥，

∴BE+EC的最小值为.

故答案为：.