Question

【题目】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和 r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则OI R2Rr .

下面是该定理的证明过程（借助了第(2)问的结论）：

延长AI 交⊙O 于点 D，过点 I 作⊙O 的直径 MN，连接 DM，AN.

∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），

∴△MDI∽△ANI.∴，∴ IA ID IM IN ①

如图②，在图 1（隐去 MD，AN）的基础上作⊙O 的直径DE，连接BE，BD，BI，IF

∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°.

∵⊙I 与 AB 相切于点 F，∴∠AFI=90°，

∴∠DBE=∠IFA.

∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），

∴△AIF∽△EDB．

∴，∴②，

由（2）知：，

∴

又∵，

∴ 2Rr(R d )(R d ) ，

∴ R d 2Rr

∴ d R 2Rr

任务：（1）观察发现： IM R d ， IN （用含R，d 的代数式表示）；

（2）请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由.（请利用图 1 证明）

（3）应用：若△ABC 的外接圆的半径为 6cm，内切圆的半径为 2cm，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 　　cm．

Answer 1

【答案】（1） （2），证明见解析 （3）

【解析】

（1）根据线段的差求解即可；

（2）根据点I是△ABC的内心，推出，进而根据外角性质以及圆周角定理得到，即可得证；

（3）利用（1）和（2）的结论可得，进而得出，再代入求值即可．

（1）∵IM R d

∴；

（2）

∵点I是△ABC的内心

∴

∵

∴

∴；

（3）由（2）知

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴．