Question

如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC与∠ADC互补.

（1）求∠C的度数； （2）若BC>CD且AB=AD，请在图上画出一条线段，把四边形ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由； （3）若CD=6，BC=8，S四边形ABCD=49，求AB的值.

Answer 1

解：（1）∵∠ABC与∠ADC互补，                 ∴∠ABC+∠ADC=180°.               ∵∠A=90°， ∴∠C=360°-90°-180°=90°； （2）过点A作AE⊥BC，垂足为E. 则线段AE把四边形ABCD分 成△ABE和四边形AECD两部分，把△ABE以A点为旋转中心， 逆时针旋转90°，则被分成的两部分重新拼成一个正方形. 过点A作AF∥BC交CD的延长线于F， ∵∠ABC+∠ADC=180°，又∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠ABC=∠ADF. ∵AD=AB，∠AEC=∠AFD=90°， ∴△ABE≌△ADF. ∴AE=AF. ∴四边形AECF是正方形； （3）连结BD， ∵∠C=90°，CD=6，BC=8，BCD中，         又∵S四边形ABCD=49，∴S△ABD=49-24=25.            过点A作AM⊥BD垂足为M， ∴S△ABD=×BD×AM=25            .∴AM=5. 又∵∠BAD=90°，∴△ABM∽△ABD.            设BM=x，则MD=10-x， ∴.解得x=5. ∴AB=