Question

16．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、BF交于G，将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，将得到△AHM，AM和BF相交于点N．当正方形ABCD的面积为4时，则四边形GHMN的面积为$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 先运用SAS定理得出Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，故可得出AE⊥BF，求出正方形的边长，再根据面积比等于相似边长比的平方，求得S_△AGN=$\frac{4}{5}$，再利用S_{四边形GHMN}=S_△AHM-S_△AGN求解．

解答 解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF=BE，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}AB=BC\\∠ABE=∠BCF\\ BE=CF\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF．
∵正方形ABCD的面积为4，
∴其边长为2．
∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，
∴AN=AB=2，
∵∠AHM=90°，
∴GN∥HM，
∴△AGN∽△AHM，
∴$\frac{{S}_{△AGN}}{{S}_{△AHM}}$=（$\frac{AN}{AM}$）²，
∴$\frac{{S}_{△AGN}}{1}$=（$\frac{2}{\sqrt{5}}$）²，
∴S_△AGN=$\frac{4}{5}$，
∴S_{四边形GHMN}=S_△AHM-S_△AGN=1-$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$，
∴四边形GHMN的面积是$\frac{1}{5}$．
故答案为：$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查的是旋转的性质，涉及到正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．